УДК 539.3; 537.8
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГИХ СВОЙСТВ ПЬЕЗОАКТИВНЫХ КОМПОЗИТОВ
А.
А. Паньков
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Статья поступила в редакцию 7 апреля 2016 г.
Аннотация. Разработаны математические двухуровневые структурные модели электромагнитоупругости композитов с учетом связанностей деформационных, электрических и магнитных полей. Представлены результаты прогнозирования 21-й независимой константы эффективных трансверсально-изотропных пьезоэлектромагнитоупругих свойств однонаправленного волокнистого композита PVF/феррит на основе решения связанной краевой задачи электромагнитоупругости; использованы новые решения для сингулярных составляющих вторых производных функций Грина для однородной трансверсально-изотропной пьезоэлектромагнитной среды.
Ключевые слова: пьезокомпозит, краевая задача электромагнитоупругости, эффективные свойства.
Abstract. Mathematical two-level structural models of electromagnetoelasticity of composites taking into account coherences of deformation, electric and magnetic fields are developed. Results of prediction of the 21 independent constant of effective transversal-isotropic piezoelectromagnetoelastic properties of the unidirectional fibrous composite PVF/ferrite are presented on the basis of the solution of the boundary-value problem of electromagnetoelasticity; new decisions for singular components of the second derivative Green functions for homogeneous transversal-isotropic piezoelectromagnetoelastic medium are used.
Key words: piezocomposite, boundary-value problem of electromagnetoelasticity, effective properties.
Введение
Разработка новых пьезоактивных пироэлектромагнитных материалов и создание устройств на их основе ‑ активно развивающееся направление материаловедения [1, 2]; композиты находят применение в тех случаях, когда традиционные материалы: кристаллы, керамики, сплавы не обеспечивают необходимого комплекса физико-механических характеристик. Поведение и свойства пьезокомпозитов обуславливаются сложным взаимодействием посредством взаимосвязанных деформационных, электрических и магнитных полей большого числа образующих структуру материала элементов [3‑7]. Возможность оптимизации и управления структурой композитов открывает путь создания новых пьезоматериалов с наперед заданными свойствами. В результате взаимодействия на микроуровне пьезоактивных элементов структуры на макроуровне композита возникают качественно новые эффекты по сравнению с однородными материалами, в частности, проявляются эффекты магнитоэлектрической, пироэлектрической и пиромагнитной связанностей, отсутствующие у входящих в композит однородных фаз [8‑11].
Цель работы – изучение эффекта электромагнитной связанности и комплексный анализ эффективных трансверсально-изотропных пьезоэлектромагнитоупругих свойств однонаправленного волокнистого композита PVF/феррит с различными полидисперсными структурами [4, 7, 11].
1. Микро и макроуровни
Рассматриваем двухфазные пьезоактивные среды в
представительной области 
, определяющие
соотношения для фаз 
[1,
2, 5]
,
, (1)
,
связывают напряжения 
,
индукции электрического 
и магнитного 
полей с деформациями 
, напряженностями электрического 
и магнитного 
полей,
температурой однородного внешнего нагрева 
через
считающиеся известными для каждой фазы 
тензоры
упругих свойств 
, пьезоэлектрических 
и пьезомагнитных 
свойств,
диэлектрических 
и магнитных 
проницаемостей, температурных
коэффициентов 
, пироэлектрических 
и пиромагнитных 
постоянных.
Выполняются условия идеального контакта на межфазных поверхностях: непрерывность
векторов перемещений, напряжений, индукций электрического и магнитного полей.
Тензоры 
, …, 
эффективных свойств входят в определяющие
соотношения на макроуровне композита
,
,
(2)
и связывают осредненные или
макроскопические значения напряжений 
,
деформаций 
,
индукций 
,
, напряженностей 
, 
электрического и
магнитного полей соответственно; 
‑
оператор осреднения по области 
структурных
полей.
Ненулевые компоненты
рассматриваемых трансверсально-изотропных тензоров 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
и 
на структурном (1) и на макроуровне (2) композита
можно наглядно представить в матричной форме записи
,
, 
,
, 
,
, 
,
, 
, 
,
где 
, тензорные и
матричные индексы связаны между собой соотношениями: 
,
, 
, 
и 
, 
и 
, 
и 
.
2. Обобщенное сингулярное приближение
Решение для тензоров эффективных
упругих свойств ,
диэлектрической 
и
магнитной 
проницаемостей,
пьезомеханических свойств 
и
, коэффициентов
электромагнитной связи 
,
и температурных
напряжений 
,
вектора эффективных пироэлектрических 
и
пиромагнитных постоянных
в определяющих соотношениях (2) на макроуровне композита в обобщенном
сингулярном приближении [6, 7, 9]
,
,
,
, (3)
,
,
,
,
получим через поправки к
соответствующим осредненным по области значениям:
, …, 
,
тензоры разностей: 
, 
,…, 
; 
‑
относительное объемное содержание 1-й фазы в ;
например, 
, где 
.
Компоненты тензоров 
, 
, …, 
в (3) находим из решения систем алгебраических
уравнений [7]
где коэффициенты
,
,
,
, (8)
,
,
,
,
правые части для 1-й системы уравнений (4)
, (9)
,
,
,
(10)
,
,
,
(11)
,
и для 4-й системы (7)
,
, (12)
;
в (8) – (12) нижние индексы в круглых
скобках 
обозначают [6] выделение симметричной
составляющей по этой паре индексов, тензоры разностей
В формулы (8) ‑ (12) входит
новое решение для матрицы тензоров сингулярных
составляющих 
вторых производных функций Грина 
,
(14)
,
для однородной анизотропной пьезоэлектромагнитной
«среды сравнения» [6], свойства которой заданы через тензоры: 
, 
, 
, 
, 
(13), функция Грина 
, 
‑ дельта-функция
Дирака, 
, в точке 
действует единичная
объемная сила, или электрический или магнитный источник, 
‑ оператор
дифференцирования по координатам вектора 
.
Компоненты матрицы в
(14) вычисляются по формулам
, 
, 
; 
,
, 
; 
, 
, 
,
где оператор
действует на компоненты тензоров
, 
, 
,
, 
, 
, 
,
, 
,
в которых использованы обозначения
, 
,
, 
,
(15)
, 
, 
,
и 
‑ полярные углы в сферической
системе координат, поверхность эллипсоидального «зерна неоднородности» [6]
задана равенством
(16)
через значения главных полуосей 
в (9), 
–
координаты вектора 
.
3. Волокнистый композит PVF/феррит
На рис.1 представлены результаты
расчета эффективных коэффициентов электромагнитной связанности 
, 
и 
(3) трансверсально-изотропного
волокнистого пьезоэлектромагнетика: пьезоэлектрическая матрица PVF [5, 12] с однонаправленными вдоль оси
ферритовыми [5] волокнами
(
, 
, (16) с объемной долей 
. Расчет (рис.1) проведен в обобщенном
сингулярном приближении (3) – (16) для четырех различных случаев выбора свойств
среды сравнения (13), (15): в первом случае (
), свойства среды сравнения приравнены
свойствам 1-й фазы
,
, 
, 
, 
, (17)
во втором случае (
) – свойствам 2-й
фазы
,
, 
, 
, 
, (18)
в третьем случае (
) – осредненным по
области 
композита значениям
,
, 
, 
, 
, (19)
и в четвертом случае (
) – искомым
эффективным свойствам композита («схема самосогласования» [6])
,
, 
, 
, 
, (20)
решения (), () инвариантны к инверсии
свойств фаз.
Результаты расчета () и () для эффективных
констант 
, 
(рис.1,а,б)
в обобщенном сингулярном приближении в точности совпали с аналитическими
решениями [8] для полидисперсных структур (рис.1,а', рис.1,б');
решение ()
по схеме самосогласования для в точности
совпало с аналитическим решением [11] для полидисперсной структуры на рис.1,в'.
Решения (),
() при
«малых» степенях наполнения близки к решению () для матричной
по 2-й фазе структуре (рис.1,а') и при «больших» ‑
к решению () для матричной по 1-й фазе структуре (рис.1,б').
Отметим, что решение () также в точности
совпало с решением асимптотического метода осреднения [8] для идеальной
периодической волокнистой структуры. Дополнительно на рис.2 – рис.5
представлены результаты расчета в обобщенном сингулярном приближении
эффективных констант: модулей Юнга 
, 
,
коэффициентов Пуассона 
, 
,
модулей сдвига 
, 
,
объемного модуля плоской деформации 
(рис.2), электромеханических
,
,
(рис.3)
и магнитомеханических 
, 
,
,
(рис.4)
констант, диэлектрических 
, 
и
магнитных 
, 
проницаемостей
(рис.5) волокнистого пьезоэлектромагнетика в зависимости от объемной доли
феррита.
|
а б |
|
|
в |
Рис.1 Эффективные коэффициенты
электромагнитной связанности
|
|
|
Рис.2
Эффективные модули упругости: модули Юнга  (а),  (б), коэффициенты Пуассона (в), (г), модули
сдвига (д), (е),
объемный модуль плоской деформации (ж) пьезоэлектромагнетика с объемной
долей феррита |
|
|
Рис.3
Эффективные электромеханические константы
|
Рис.4
Эффективные магнитомеханические константы (а), (б), (в), (г)
пьезоэлектромагнетика с объемной
долей феррита
Рис.5
Эффективные диэлектрические (а), (б) и магнитных (в),
(г)
проницаемости пьезоэлектромагнетика с
объемной долей феррита
Заключение
Разработаны новые математические двухуровневые структурные модели электромагнитоупругости композитов с учетом связанностей деформационных, электрических и магнитных полей. Получены решения связанных краевых задач электромагнитоупругости в обобщенном сингулярном приближении статистической механики композитов на основе новых решений для сингулярных составляющих вторых производных функций Грина для однородной трансверсально-изотропной пьезоэлектромагнитной среды с эллипсоидальным зерном неоднородности. Представлены результаты прогнозирования 21-й независимой константы эффективных трансверсально-изотропных упругих и пьезоэлектромагнитных свойств однонаправленного волокнистого композита: пьезоэлектрика PVF с ферритовыми волокнами в обобщенном сингулярном приближении решения связанной краевой задачи электромагнитоупругости. Выявлен существенно немонотонный характер изменения эффективных коэффициентов электромагнитной связанности композита PVF/феррит от величины наполнения волокнами; определены значения объемных долей волокон, при которых эти коэффициенты принимают экстремальные значения. Для частных случаев проведены сравнения с известными аналитическими решениями асимптотического метода осреднения [8] для идеальной периодической волокнистой структуры, решениями на составных ячейках и на основе «схемы самосогласования» для различных полидисперсных структур (рис.1, а' ‑ в') [4, 11].
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 14-01-96004 р_урал_а.
Литература
1. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применения в ультраакустике. ‑ М.: Изд-во иностр. лит., 1952. ‑ 448 с.
2. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. ‑ 471 с.
3. Волков С.Д. Статистическая механика композитных материалов / С.Д. Волков, В.П. Ставров. – Минск: Изд-во Белорус. гос. ун-та, 1978. – 208 с.
4. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. – М.: Мир, 1982. – 334 с.
5. Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Лещенко П.В. Прогнозирование эффективных свойств пьезоактивных композитных материалов. – Киев: Наук. думка, 1989. – 208 с.
6. Шеpмеpгоp Т.Д. Теоpия упpугости микpонеодноpодных сpед. ‑ М.: Наука, 1976. ‑ 399 с.
7. Паньков А.А. Статистическая механика пьезокомпозитов. ‑ Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2009. ‑ 480 с.
8. Гетман И.П. О магнитоэлектрическом эффекте в пьезокомпозитах // ДАН СССР. ‑ 1991. ‑ Т. 317. ‑ № 2. – С. 341-343
9. Паньков А.А. Влияние разупорядоченности и инверсии фаз на электромагнитную связанность пьезокомпозита с квазипериодической структурой // Журнал радиоэлектроники: электронный журнал. 2014. ‑ №1; URL: http://jre.cplire.ru/jre/jan14/12/text.pdf
10. Паньков А.А. Диэлектрическая релаксация в волокнистом композите полиэтилен/феррит // Журнал радиоэлектроники: электронный журнал. 2014. ‑ №2; URL: http://jre.cplire.ru/jre/feb14/1/text.pdf
11. Pan’kov A.A. Self-consistent solutions for electromagnetic coupling coefficients of fibrous piezocomposite // Composites: Mechanics, Computations, Applications. An International Journal. ‑ 2014. ‑ Vol. 5. ‑ No 1. ‑ P.77-88
12. Sessler G.M. Piezoelectricity in polyvinylidenefluoride // J. Acoust. Soc. Amer.. – 1981. – Vol. 70. – No 6. ‑ P.1596-1608