"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ"  N 7, 2001

оглавление

дискуссия

ОПТИМИЗАЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО И ДИХОТОМИЧЕСКОГО ПОИСКОВЫХ АЛГОРИТМОВ МЕТОДОМ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

А. Г. Филатов

Воронежский Научно-исследовательский Институт Связи

 

Получена 17 мая 2001 г.

 

Проведена оптимизация последовательной и дихотомической поисковых процедур методом динамического программирования с целью получения их потенциальных характеристик. Показано, что наибольший эффект достигается при оптимизации дихотомии. Проведен сравнительный анализ двух поисковых алгоритмов, применительно к поиску сигнала в частотном диапазоне, в ходе которого показано, что, начиная с некоторого, весьма низкого отношения сигнал/шум, дихотомия имеет выигрыш.

 

Введение

Большинство современных радиотехнических систем (РТС), включает процедуру оценивания параметров сигналов. Примером может служить определение частоты сигнала в системах с псевдослучайной перестройкой рабочей частоты (ППРЧ), определение задержки отраженного сигнала в системах радиолокации и навигации, синхронизация в цифровых системах связи и т.д.

Одним из методов оценки параметров является поиск. При поиске осуществляют пошаговый просмотр области неопределенности с помощью одноканального устройства (или устройства с приемлемым числом каналов). Канал оценки в данном случае представляет собой вычислитель функции правдоподобия и устройство вынесения решения по вычисленному значению. При этом на каждом шаге снижается неопределенность оцениваемого параметра. Существует две различные стратегии или вида поиска - последовательный и полихотомический. Все остальные алгоритмы, так или иначе, являются совокупностью этих двух.

При последовательном поиске область неопределенности разбивается на ячейки, величина которых определяется требованиями к точности определения параметра искомого сигнала (объекта). Затем выполняется последовательная проверка гипотез о наличии объекта поиска в одной из ячеек области неопределенности. По завершении проверки гипотезы выносится решение относительно двух альтернатив: значение параметра соответствует проверяемой гипотезе или нет, и во втором случае осуществляется переход к следующей гипотезе и т.д. Проверка простой гипотезы называется шагом поиска. В связи с тем, что решение на каждом шаге выносится относительно именно двух альтернатив, поиск получил название двоичного [1].

Полихотомический алгоритм представляет собой параллельный просмотр нескольких частей области неопределенности с последующим вынесением решения о присутствии объекта поиска в одной из них. На следующем шаге выполняется разбиение определенной на предыдущем шаге части области неопределенности и т.д. Поиск выполняется до тех пор, пока разбиение не приведет к требуемой точности искомого параметра. Другими словами, от шага к шагу поиска выполняется сужение области неопределенности. Частным и наиболее простым случаем полихотомии является дихотомическая поисковая процедура, где разбиение области выполняется на две части. Дихотомический поисковый алгоритм также относится к двоичным поисковым процедурам.

Обе описанные поисковые процедуры могут быть однопроходными или циклическими. Однопроходные поисковые процедуры предусматривают проведение поиска без повторных циклов сканирования области неопределенности, в то время как циклические допускают возвращение к предыдущим шагам поиска. Однопроходные процедуры характеризуются двумя параметрами: вероятностью успешного завершения Q и средним временем поиска Т_ср. Причем в [2] показано, что задачи максимизации вероятности Q при фиксированном времени Т_ср и минимизации Т_ср при фиксированном Q имеют общее решение, т.е. обе задачи приводят к одной и той же оптимальной совокупности времен анализа на каждом шаге поиска  и порогов обнаружения V_i (в случае поиска с двухпороговым решающим устройством Вальда порогов V_0i и V_1i ). Для решения задачи максимизации вероятности успеха Q при фиксированном среднем времени применим метод динамического программирования.

Основной задачей данной работы является исследованию подходов к оптимизации последовательного и дихотомического поиска методом динамического программирования. Целью оптимизации является нахождение потенциальных характеристик данных процедур и их сравнительный анализ. Оптимизация проведена на примере поиска сигнала имеющего постоянную огибающую (ФМ или ЧМ сигнал) с шириной спектра Df₀ в частотном диапазоне АDf₀, в допущении что поиск проводится с помощью однопорогового обнаружителя без памяти, т.е. входной сигнал не может быть записан и для каждого нового шага поиска требуется его новая реализация.

1.      Оптимизация последовательного поиска 

Прямое использование метода динамического программирования предполагает одновременную оптимизацию времени анализа ячейки области неопределенности и порога обнаружения. Представим процедуру последовательного поиска в виде древовидного графа, вершиной которого является узел, соответствующий первому измерению (см. рис.1).

 

Рис. 1. Дерево однопроходного последовательного поиска.

 

Вероятность успешного завершения поиска из узла   А-1 равна

,( 1 )

где  - время анализа i-й ячейки области неопределенности, V_i – порог обнаружения,  - апостериорная вероятность присутствия сигнала в А-1 ячейке области неопределенности. Если предположить, что сигнал равновероятно может находиться в любой из ячеек и на i-1 предыдущих шагах не было пропуска сигнала, то вероятность присутствия сигнала при анализе i-й ячейки равна

                                                             .                                                       ( 2 )

Данное значение является верхней границей вероятности p(x_i) при осуществлении поиска. Нижней границей является ноль - случай пропуска сигнала на предыдущих шагах.

В общем случае вероятность успешного поиска из i-го узла равна

,           ( 3 )

где T_i  - время, выделенное на поиск из i-го узла. Времена T_i , T_i+1  и t_i  связаны следующим выражением

                                      ( 4 )

Оптимизация методом динамического программирования заключается в том, что для каждого узла дерева поиска, начиная с последнего, рассчитывается вероятность успешного завершения поиска  для возможных пар величин  и , причем расчет выполняется следующим образом

                                   .                            ( 5 )

Вероятности присутствия сигнала на текущем и предыдущем шагах поиска связаны выражением

                                           ,                                    ( 6 )

где  - вероятность того, что при вынесении решения "сигнала нет" его действительно нет, равная

                      .               ( 7 )

 

В теории динамического программирования [3] выражение (5) называется функцией Беллмана. Таким образом, функция Беллмана, рассчитанная для первого узла от аргументов  T₁=T_СР и , есть максимально достижимая вероятность успешного поиска при заданном времени поиска T_СР.  Повторный проход по дереву поиска, но уже от первого узла к последнему, позволяет восстановить значения порогов  времен анализа   и V_i, приведших к найденной вероятности успеха.

Рассмотренный метод представляет собой двумерную оптимизацию и весьма трудоемок. Гораздо более приемлемым вариантом является одномерная оптимизация, когда в начале задаются определенными значениями , например фиксированными , и затем оптимизируют пороги обнаружения V_i, таким образом, чтобы достичь максимальной вероятности успеха. Среднее время поиска в таком случае можно вычислить с помощью следующего выражения

                                                               ,                                                         ( 8 )

где р_i – вероятность того, что поиск дойдет до i-го шага поиска, получаемая рекуррентным образом, начиная с шага номер один.

Рассмотрим случай, когда время анализа на всех шагах поиска одинаково, т.е. . На рис.2 представлены зависимости среднего времени последовательного поиска, оптимизированного методом динамического программирования, от отношения сигнал/шум для А=32-128 и вероятностей успеха Q=0,9. Предполагается, что искомый сигнал имеет постоянную огибающую, а время поиска представлено относительно интервала времени T₀=1/Df₀. На том же рисунке приведены зависимости среднего времени поиска для случая, когда при проверке частотных каналов порог и время анализа были фиксированными.

 

Рис. 2. Сравнение последовательной  поисковой

процедуры с фиксированным и переменным порогом

 

Среднее время поиска всегда ниже при перестраиваемом пороге, и также вероятность успешного поиска Q всегда несколько лучше, однако выигрыш не является существенным.

Был также рассмотрен случай, когда время анализа  линейно нарастает, т.е. имеет место линейная зависимость времени анализа от номера проверяемой частотной ячейки. К оптимизируемым параметрам в  данном случае был добавлен наклон прямой .  Однако и здесь выигрыша составляет единицы процентов.

В результате можно сказать, что метод динамического программирования, приводящий к переменным от шага к шагу поиска порогам обнаружения V_i и времени накопления , незначительно выигрывает у метода оптимизации, который предполагает данные параметры фиксированными. В то же время сложность оптимизации при последнем подходе ниже.

2. Оптимизация дихотомического поиска

Рис. 3. Дерево дихотомического поиска

 

Однопроходный дихотомический поиск узкополосного сигнала в частотном диапазоне предполагает выполнение N=log₂A шагов, где на первом шаге весь анализируемый частотный диапазон разбивается на две части и определяется, в какой половине находится искомый сигнал. На втором шаге делится пополам поддиапазон, найденный на предыдущем шаге и т.д. В результате на последнем шаге выбор осуществляется между поддиапазонами, содержащими по одной ячейке. Финальная вероятность успешного поиска Q в данном случае будет равна произведению вероятностей вынесения правильного решения на каждом шаге Q_i, где i=1,N. Если задано некоторое время Т_ср, в течение которого необходимо провести поиск, то одним из вариантов распределения имеющегося общего времени между шагами является такой, при котором вероятности вынесения правильного решения на каждом шаге будут равны, т.е. . Назовем этот подход первым.

Однако от шага к шагу поиска ширина анализируемого частотного поддиапазона изменяется и, следовательно, изменяется отношение сигнал/шум по входу решающего устройства, выносящего решение в пользу одного или другого поддиапазона. Поэтому оправдано предположить, что выбор вероятностей  неоптимален. Проведем оптимизацию распределения времени дихотомического поиска сигнала между шагами методом динамического программирования и назовем этот подход вторым.

Предположим, что искомый сигнал имеет постоянную огибающую и время анализа на шаге поиска T>>1/Df₀ и при этом поиск осуществляется с помощью двух фильтров с перестраиваемыми полосой и центральной частотой. Вычисляется разность выходных сигналов фильтров, детектирование и некогерентное накопление. Решение в пользу одного либо другого поддиапазона выносится с помощью решающего устройства (РУ), сравнивающего полученную величину с нулевым порогом. В таком случае вероятность вынесения правильного решения с помощью однопорогового РУ на i-м шаге поиска равна

 

                                                     ,                                            ( 9 )

где - функция Крампа; - отношение сигнал/шум по входу РУ на i-м шаге поиска в отсутствии накопления, зависящее от номера шага поиска и отношения сигнал/шум в элементарной ячейке ;  - число накапливаемых отсчетов на интервале времени 1/Df₀, зависящее от номера шага дихотомического поиска; Т - время анализа на шаге поиска, представленное относительно интервала 1/Df₀. Следует отметить, что в зависимости от номера шага поиска на интервале времени 1/Df₀ может быть разное число накапливаемых отсчетов n, поскольку на разных шагах анализируются частотные поддиапазоны разной ширины.

Если на поиск из узла, находящегося на последнем уровне, выделено время t и предыдущие шаги были безошибочными, то  вероятность правильного завершения поиска  равна

                                                                .                                                        ( 10 )

Та  же вероятность для предпоследнего уровня равна

                                                  ,                                          ( 11 )

где   – время отводимое на (N-1)-й шаг, а - на следующий.

В общем случае для i-го шага имеем

                                                      .                                              ( 12 )

Оптимизация методом динамического программирования заключается в том, что для каждого уровня дерева поиска, начиная с последнего, рассчитывается вероятность успешного завершения поиска   для всех возможных значений , причем расчет выполняется следующим образом

 

                                                 .                                        ( 13 )

Выражение (13) представляет собой функцию Беллмана и ее значение, рассчитанное для первого шага от аргумента Т_ср, есть максимально достижимая вероятность успеха при заданном времени поиска Т_ср. Повторный проход по дереву поиска, но уже от первого уровня к последнему, позволяет восстановить значения времен анализа T_i, приведших к найденной вероятности успеха. Исходя из известных T_i можно определить вероятности правильного решения на каждом из шагов поиска Q_i .

На Рис. 4 представлены зависимости времени поиска сигнала в частотном диапазоне при (первый подход) и поиска, оптимизированного методом динамического программирования (второй подход).

 

Рис. 4. Сравнение двух подходов к построению дихотомического поиска

 

Как следует из рисунка, метод динамического программирования позволяет лучшим образом распределить общее время поиска между шагами. При этом распределение времени приводит к тому, что на первых шагах вероятность правильного решения ниже, чем на последних. В результате наблюдается выигрыш перед первым подходом, причем выигрыш растет с ростом величины частотного диапазона А и со снижением отношения сигнал/шум.

3. Сравнение последовательного и дихотомического поисковых алгоритмов

Полученные выше характеристики последовательного и дихотомического поисковых алгоритмов являются потенциальными, в связи с чем интересным является проведение их сравнительного анализа.

Сначала определим верхнюю и нижнюю границы отношения средних времен поиска. При большом отношении сигнал/шум для вынесения решения на шаге поиска, независимо от поискового алгоритма, требуется один отсчет. При последовательном поиске максимальное число шагов равно A-1 и при равновероятном нахождении сигнала в пределах частотного диапазона среднее число шагов равно (A-1)/2, а минимальное среднее время поиска равно

                                                              .                                                     ( 14 )

 

При дихотомии среднее время равно

 

                                                .                                      ( 15 )

 

В результате деления (14) на (15) получается R=A/4. Таким образом, предельный выигрыш дихотомии пропорционален величине области неопределенности А.

Анализ поведения кривых рис.2 и рис.4 в области низких отношений сигнал/шум h₀², представленных в логарифмическом масштабе, дает основания аппроксимировать их следующими функциями:

                                                   ,                                           ( 16 )

                                                    ,                                            ( 17 )

где отношение сигнал/шум h₀² выражено в децибелах, а K_А – коэффициент определяемый величиной области неопределенности А. Так для последовательного поиска при Q=0.9 и А=32;64;128 коэффициент K_А =2,678; 3,01; 3,346 соответственно. Для дихотомии K_А =2,39; 2,704; 3,01. Исходя из выражений (16), (17) можно определить величину h₀², ниже которой последовательный поиск будет быстрее дихотомического:

                                                          .                                                  ( 18 )

Для А=32;64;128 данная величина равна соответственно h₀²= -18; -19.1; -21 дБ.

На рис.5 представлены зависимости отношения средних времен последовательного и дихотомического поиска. Из рисунка следует, что, начиная с весьма низкого отношения сигнал/шум, дихотомический поиск выигрывает.

Рис. 5. Отношение средних времен последовательного и дихотомического поиска

 

Заключение

В ходе работы была проведена адаптация метода динамического программирования к оптимизации последовательного и дихотомического алгоритмов поиска с целью нахождения их потенциальных характеристик. Поведена классификация параметров поисковых алгоритмов в результате которой число оптимизируемых параметров было ограничено, что привело к существенному упрощению оптимизации. Показано, что наибольший по времени поиска выигрыш динамическое программирование дает при оптимизации дихотомии.

Проведенное сравнение потенциальных характеристик последовательного поиска и дихотомии применительно к поиску сигнала в частотном диапазоне показало, что, начиная с некоторого, весьма низкого, отношения сигнал/шум, дихотомия выигрывает по среднему времени поиска.

 

Литература

 

 1. Каневский З.М., Литвиненко В.П. Теория скрытности. – Воронеж: Изд-во ВГУ, 1991. – 144с.

 2. Василенко О.О. Автореферат диссертационной работы "Оптимизация поиска сигналов связи и управления в задачах анализа скрытности". Воронеж, ВГТУ 1999.

3. Беллман Р. Процессы регулирования адаптацией. М., 1964.

 

---

Автор:

Филатов Анатолий Геннадьевич, е-mail: filatov@kodofon.vrn.ru,

Воронежский Научно-исследовательский Институт Связи